MathematikErhöhtes Anforderungsniveau (einheitlich für alle Prüflinge)

Analysis: Funktionsuntersuchung mit Ableitung und Stammfunktion (Jgst. 12)

Untersuchung ganzrationaler, Exponential-, trigonometrischer, gebrochen-rationaler, Wurzel- und Logarithmusfunktionen mithilfe von Produkt-, Ketten- und Quotientenregel sowie der Umkehrfunktion; dazu der Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktion.

• ·Ganzrationale Funktionen, insbesondere mit Parametern: Untersuchung mit den Methoden der Differentialrechnung, auch mithilfe dynamischer Mathematiksoftware bei Funktionenscharen
• ·Schluss aus dem Graphen einer Funktion auf den Graphen einer zugehörigen Stammfunktion; bei ganzrationalen Funktionen auch Ermittlung der Terme zugehöriger Stammfunktionen aus dem Funktionsterm
• ·Natürliche Exponentialfunktion: Ableitungsfunktion stimmt mit dem Funktionsterm überein; Differenzieren von Verknüpfungen mit ganzrationalen Funktionen mittels Produkt- und Kettenregel; Vergleich des Wachstums von Exponential- und Potenzfunktion (Grenzwerte); Modellierung von Wachstums- und Abklingvorgängen
• ·Sinus- und Kosinusfunktion: Ableitungsfunktion anhand graphischer Überlegungen; Untersuchung einfacher Verknüpfungen, insbesondere mit linearen Funktionen, mit Methoden der Differentialrechnung
• ·Gebrochen-rationale Funktionen (Zähler- und Nennerpolynom höchstens Grad 2, vollständig gekürzt): Ableitung insbesondere mit der Quotientenregel; Untersuchung auch bei nicht unmittelbar bestimmbaren Nullstellen der Ableitungsfunktion mithilfe dynamischer Mathematiksoftware
• ·Umkehrbarkeit einer Funktion mithilfe strenger Monotonie, insbesondere bei Quadrat- und Wurzelfunktion; rechnerische Bestimmung des Terms der Umkehrfunktion in einfachen Fällen; Ableitung von Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten und ihren Verknüpfungen mit Produkt-, Quotienten- und Kettenregel
• ·Natürliche Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion; Herleitung des Ableitungsterms; Untersuchung einfacher Verknüpfungen mit Rechenregeln für Logarithmen und den Grenzwerten der Logarithmusfunktion

Stochastik: Binomialverteilung und Signifikanztest (Jgst. 12)

Axiomatische Wahrscheinlichkeit, Zufallsgrößen und Binomialverteilung sowie darauf aufbauend der einseitige Signifikanztest bei binomialverteilt angenommenen Merkmalen.

• ·Axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit; Vergleich mit anderen Ansätzen (Laplace'scher, frequentistischer oder subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff)
• ·Zufallsgröße, Wahrscheinlichkeitsverteilung, kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung; Veranschaulichung z. B. durch Säulendiagramme oder Histogramme; Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung
• ·Urnenmodelle „Ziehen mit Zurücklegen“ und „Ziehen ohne Zurücklegen“, auch mit Binomialkoeffizienten
• ·Modellierung mit Bernoulli-Ketten; Binomialverteilung zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, auch mit Summenschreibweise (Sigma-Symbol)
• ·Erwartungswert und Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße aus den Parametern der Binomialverteilung; Einfluss der Parameter auf die grafische Darstellung, auch mit dynamischer Mathematiksoftware
• ·Einseitiger Signifikanztest: grundsätzliches Vorgehen, Abgrenzung von Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung, Einfluss der Zielsetzung auf die Wahl der Nullhypothese
• ·Fehler erster Art und (unter Annahme einer konkreten alternativen Hypothese) Fehler zweiter Art; Ablehnungsbereich bei gegebenem Signifikanzniveau
• ·Interpretation von Ergebnissen einseitiger Signifikanztests im Sachzusammenhang (u. a. Umfragen vor Wahlen); Abgrenzung von Fehlinterpretationen, insbesondere dass ein Signifikanztest keine Aussage über die Wahrscheinlichkeit der Gültigkeit der Nullhypothese zulässt

Geometrie: Koordinatengeometrie im Raum (Jgst. 12)

Grundlagen der analytischen Geometrie im dreidimensionalen Raum mit Vektoren, Skalar- und Vektorprodukt.

• ·Darstellung von Punkten, Figuren und Körpern im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem; Symmetrielagen bezüglich Koordinatenebenen, -achsen und -ursprung, auch mit 3D-Geometriesoftware
• ·Rechnerische und grafische Bestimmung von Summen, Differenzen und skalaren Vielfachen von Vektoren im Raum unter Nutzung der Rechengesetze für Vektoren
• ·Skalarprodukt zur Bestimmung von Vektorlängen und Winkelgrößen zwischen Vektoren, genutzt für Argumentationen an Figuren
• ·Vektorprodukt zur Bestimmung eines zu zwei Vektoren orthogonalen Vektors sowie zur Berechnung von Flächeninhalten von Parallelogrammen und Dreiecken und, in Verbindung mit dem Skalarprodukt, von Volumina geeigneter Körper
• ·Flexible Anwendung grundlegender Konzepte und Strategien aus der Unter- und Mittelstufe sowie der Vektorrechnung bei Berechnungen an geometrischen Körpern und Figuren, auch in Sachzusammenhängen; Reflexion unterschiedlicher Lösungswege

Analysis: Integralrechnung (Jgst. 13)

Das bestimmte Integral als Flächenbilanz und Gesamtänderung, der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sowie Volumenberechnung von Rotationskörpern.

• ·Bestimmtes Integral als Flächenbilanz; Begriff und Bedeutung der Integralfunktion, auch mit dynamischer Mathematiksoftware zur Veranschaulichung des Zusammenhangs von Integranden- und Integralfunktion
• ·Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung; Berechnung von Werten bestimmter Integrale mithilfe von Stammfunktionen; Abgrenzung von Integralfunktion und Stammfunktion
• ·Schluss vom Graphen einer Funktion auf den Verlauf des Graphen einer zugehörigen Integralfunktion und umgekehrt
• ·Ermittlung von Termen von Stammfunktionen, auch mit den Integrationsregeln für Summen, Produkte mit konstantem Faktor und Verkettung mit linearer innerer Funktion
• ·Berechnung von Flächeninhalten, die durch Funktionsgraphen begrenzt sind, einschließlich uneigentlicher Integrale
• ·Bestimmtes Integral als Gesamtänderung einer Größe, wenn die Integrandenfunktion die lokale bzw. momentane Änderungsrate beschreibt (u. a. Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und zurückgelegter Strecke)
• ·Volumenberechnung eines Rotationskörpers, der durch Rotation eines Funktionsgraphen um die x-Achse entsteht

Analysis: Anwendungen von Differential- und Integralrechnung (Jgst. 13)

Vertiefte Untersuchung verknüpfter Funktionen mit Parametern, Extremwertprobleme und Anwendungen der Differential- und Integralrechnung in Sachzusammenhängen.

• ·Untersuchung verknüpfter Funktionen, auch mit Parametern, mit Methoden der Differential- und Integralrechnung, auch mit dynamischer Mathematiksoftware
• ·Bestimmung von Parameterwerten eines Funktionsterms aus gegebenen Bedingungen
• ·Lösen von Extremwertproblemen zu inner- und außermathematischen Fragestellungen
• ·Anwendung der Differential- und Integralrechnung in Sachzusammenhängen (z. B. Wirtschaftsmathematik, Statistik, Klimaforschung, Ingenieurwesen); Interpretation und Validierung der Ergebnisse

Stochastik: Normalverteilung (Jgst. 13)

Stetige Zufallsgrößen und die Normalverteilung als Modell für Messwerte.

• ·Unterscheidung diskreter und stetiger Zufallsgrößen; Darstellung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Histogramme sowie Graphen von Dichte- und kumulativen Verteilungsfunktionen
• ·Plausibilität der Normalverteilung anhand glockenförmiger Histogramme bei der Erhebung von Messwerten (z. B. Körpergröße, Länge von Werkstücken)
• ·Grundlegende Eigenschaften von Dichtefunktion und kumulativer Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsgröße; Ablesen von Erwartungswert und Standardabweichung aus dem Term der Dichtefunktion, auch mit dynamischer Mathematiksoftware
• ·Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, dass Werte einer normalverteilten Zufallsgröße in einem Intervall liegen; Ermittlung passender, insbesondere um den Erwartungswert symmetrischer Intervalle zu vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten, wo möglich mit den Sigma-Regeln

Geometrie: Geraden, Ebenen und Kugeln im Raum (Jgst. 13)

Analytische Geometrie von Geraden, Ebenen und Kugeln im Raum: Gleichungsformen, Lagebeziehungen und Abstandsberechnungen.

• ·Geraden- und Ebenengleichungen in Parameterform; anschauliche Deutung linearer Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von Vektoren; Darstellung eines Vektors als Linearkombination anderer Vektoren, falls möglich
• ·Ebenengleichungen in Normalen- und Koordinatenform; Rückschlüsse aus der Ebenengleichung auf die besondere Lage der Ebene im Koordinatensystem
• ·Systematische, begründete Ermittlung der gegenseitigen Lage von Geraden, von Ebenen sowie von Geraden und Ebenen zueinander; Berechnung von Schnittpunkten, Schnittgeraden und Schnittwinkeln, auch mit dynamischer Geometriesoftware
• ·Abstandsberechnungen: zweier Punkte, eines Punkts von einer Geraden oder Ebene, zweier windschiefer oder paralleler Geraden, zweier Ebenen, einer Geraden von einer Ebene, ggf. mit der Hesse'schen Normalform
• ·Kugelgleichungen in Koordinatenform; gegenseitige Lage von Kugeln und Geraden sowie von Kugeln und Ebenen auf Basis von Abstandsberechnungen
• ·Flexible und situationsgerechte Anwendung von Methoden der analytischen Geometrie sowie grundlegender Konzepte und Strategien aus der Unter- und Mittelstufe bei Berechnungen an geometrischen Objekten in Sachzusammenhängen; strukturierte Dokumentation und vergleichende Beurteilung der Lösungswege